從數學而上

1.為什麼要談這些

為什麼會想這些問題? 為什麼我會想要思考數學的問題? 進入資策會的這些年來，為了因應資訊的成長與變遷，總是不斷的在學習新的知識、新的技術、方法。然而，跟剛進資策會的頭幾年比起來，最近幾年自己個人的學習成長，似乎出現了某種障礙與瓶頸。自己很無聊的去做了一些分析，發現，我個人所習慣的學習方法，是希望有人能給我範例，或是直接告訴我怎麼做，然後我再從中習得能力與經驗；如果是遇到不知該怎麼做的理論知識 (沒有適合的範例，沒人確切了解怎麼做)，會變得很難將其吸收成為屬於自己的知識並轉化成實作。於是，對於學習本身，漸漸變得不再有興趣；對學習的成果，也不再擁有成就感。學習，似乎只剩下應付，應付長官、應付客戶、應付績效。為何會變成這樣呢? 有什麼地方是不一樣呢? 是不是有很多人都有類似的情形呢?


2.我們的習慣、思考邏輯、學習文化

(1).為什麼談學習文化

所謂文化，指一群人，因為有著相同的語言，在時間的累積下，產生了相類似的生活方式、溝通與表達方式以及相同的願景等等… (2007/04 - 傳佩榮教授說：文化分三個層次：器物、制度、理念). 這一群人，對於碰到某個問題，可能會有著相類似的思考邏輯與解決策略；當要學習某項新知，可能會有著相類似的學習方法；當被要求執一個任務，可能也會有相類似的苦惱 – 希望有人告訴我怎麼做，或是希望有人能給我範例…

(2).為什麼談數學

數學是科學的基礎。對於如何解決一個數學問題所採行的思考方式，其實會反應在當面對生活問題時，所思考的解決策略方向上；而對於數學的學習與應用方法，也容易反應在一個人對於新知識的學習與應用方法上。所以，當我開始往回推，回頭思考我所受的基礎教育對我現在的影響時，我想到了數學。

(3).數學邏輯的差異：加法邏輯與減法邏輯

當我開始回頭思考我所接受的數學教育時，正好也看到了日前吵的火熱的「建構式數學」(也有人戲稱「賤狗式數學」)，因而也開始小小研究一下，這與我以前接受的傳統數學，有何不同。是的，的確是有所不同，而且，也許這就是我想找的答案。我發現，我是贊同建構式數學的，就像我其實贊同CMMI一樣 (我只是不贊同執行方法)。

建構式數學與傳統數學，其實有著基本的邏輯思考差異，這裏只先做簡單區分與說明：

A.加法邏輯 – 建構式數學
把東西一個一個加起來，然後得到結果。
例如：假設一隻筆賣8元，那麼付出8個一元就可以得到結果。

B.減法邏輯 – 傳統數學
把多餘的東西減掉，就可以得到結果。
例如：假設一隻筆賣8元，那麼只要付一個十元，找回兩元即可。
(減法邏輯數學用得最極致的，大概就是菜市場賣菜的歐巴桑，算數之快，真的令人咋舌)

(4).什麼是建構式數學

以下是轉載他人的文章====================================

「建構式數學」是根據國外的教育思潮「建構理論」研發而成，主要教學步驟為「佈題、解題、溝通」，教師的角色由教學活動的控制者，轉變為教學活動的協助者。教師的任務只在於協助學生建構自己的數學概念，並讓學生將建構過程紀錄下來，以培養學生和他人溝通及自我學習、反思的能力。主要有下列五個重點：

A.建構式數學主張讓學生自行解題，再適時引入數學語言做為概念的表徵。

B.鼓勵能容忍異己、欣賞別人。

C.養成主動探索問題、尋求解答的習慣。

D.隨著學生概念的發展，學生的智力及記憶也會有所成長。

E.教師可採用各式各樣的多元評量方式，不再只限於紙筆式評量。


建構式數學的基石在哲學思想層次上是很傳統的，並不是很新穎，至少在古希臘或更早就應該存在，雖然那時的人們可能沒有用這一個名詞。歐基里得的幾何學本身就呈現這種想法。就數學而言，在數學上面冠上「建構式」三個字是完全沒有實質的意義，因為所有的數學都是建構出來的。但把這個思想從哲學層次落到基礎數學教育的實踐，是比較最近的事情。它是強調，小孩建構數學的程序是他能學習且最重要的唯一面象，反對（至少不贊成）教師作價值判斷的引導。因此，對採行建構式數學的教師而言，如何在建構式數學的教學方式下，引導學生由自創式的計算歸結到直式計算規則，而又不會讓學生在學習上引起認知的混亂，這對老師是非常大的挑戰。顯然地，要全面採用建構式教學，至少須要具備底下的因素：

A.數學課程上課時數要多，遠比現有的上課節數要多的多。否則，教師只能在最簡單，最基本的算術規則或生活情境（學生較有具體經驗的那一部份的數學）作大量的建構後，只能花很少的時間去教導學生，較不熟悉或較困難的部份。

B.教學的班級不宜過大。

C.對教師在數學、其它相關連的學科素養（例如科學）以及教師的敬業精神有很高的要求。

End ====================================

這裏小小插播一下，「PSP」課程 (Personal Software Process) 的流程設計，其實就有點接近建構式數學 - 要求自主的反省思考，儘量不提供絕對的答案；每一個習題，都是希望學生能思考下一階段的進步。可是，在上這個課程時，發現自己還是習慣要求要有標準答案；而且，我也發現，可能就是自己的思考習慣不好，所以對一個習題結束後應該引發的反思，往往會花掉比撰寫程式還要長的時間，最後更會因為課程時間壓力，而放棄掉這段反省。在這裏提出小小建議，希望以後開PSP課程，能再縮減一半人數，讓教師能更容易去引導個別學生的思考方向，並且將課程時間再增加兩倍，讓上課的學生有多兩倍的時間來思考問題，這樣應該才能達到應有的效果。


3.不同思考邏輯的優缺點

(1).加法邏輯的優缺點

加法邏輯其實是在組合因子、元素，像堆積木一樣，把一堆稱為「理論」的積木，堆疊組合，然後成為某種結果。這種做法的優點其實就在於創意，因為建構的重點在於堆疊方法的思考過程，而不在於結果，所以允許不同的人，用不同的方式，組合出不同的樣子；其實這就是創意的來源。而這個方法的缺點，就是「慢」。因為要花時間思考堆疊的方法；而且，雖說要「容忍異己、欣賞別人」，可是其實有很多堆疊出來的結果不是我們想要的(也有可能是錯的)。這時候就必須多花時間，將這些不同的思考方向與結果，引導到正確的結果(或直接放棄??)。就如上述文章所說，教建構式數學的老師要多花很多的時間去引導學生。
有去過美國或歐洲的人，可能會發現，他們的店員算數速度很慢；經常在購物結帳時，花很多時間在算錢。其實，我們可以猜測，這些算數速度很慢的人，通常可能是邏輯能力比較差的人。所以這些人可能沒有能力 (或興趣) 去推導創立自己的算式，所以只好死抱著自己會的那一個算式，這樣至少可以得到正確的結果 (反正，錢的計算結果應該是固定的，不會因算式不同而有不同的結果)。

(2).減法邏輯的優缺點

減法邏輯其實就是在分解因子、原素，把人家已經做好的某個成品，拿來一塊一塊解開，然後再依樣畫葫蘆組起來。明白的講，其實這就是一種模仿能力，這也可以說明，為何台灣會是個「極厲害的仿冒大國」(現在好像要被中國大陸追過去了!?)。
減法邏輯的優點其實就是「快」。因為只要分解、找出某種既訂的流程，然後再循著這些既訂的流程(例如九九乘法表)，就可得到標準的答案。這也是為什麼我們的數學運算速度，普遍比歐美人士快得多。
這裏需說明一下，加法邏輯所用來組合的「因子」與減法邏輯所拆解出來的因子，其實是有可能不一樣的。而且，對於使用減法邏輯思考的人，因為已經知道結果為何，所以拆解的時候，通常也會思考更有效率的組合因子的方法，進而提昇效益。
事實上，使用減法邏輯思考的人，並非都沒有創意，只是相對而言比較少而已。然而，這也正是減法邏輯的缺點，也正是台灣人比較沒有創意的主因，其實也是目前的教改需要建構式數學的緣由。因為，我們的經濟已漸接近已開發國家的程度，我們已經沒有東西可以模仿了，我們的未來的經濟，如果不能創新、創意出自己的產品來，就有可能等著被淘汰，所以，我們急著使用建構式數學。
我們可以這麼說，理想中的建構式數學，是希望不要直接告訴學生有一個好方法(乘法)可以執行更快的加法運算，而是希望讓學生自己去找出更快的運算解法，進而產生屬於自己的乘法運算；並不是單純的禁止學生背九九乘法表，而是希望引導學生去推導、創造出自己的九九乘法表。而這種創造的力量，才是我們現在想要的。

(3).台灣式的建構式數學

之前說過，我個人是贊同建構式數學的，只是不贊同我們的執行方法。因為我們現有的政策執行評估、政策決策、以及直接執行教學工作的老師們，其實都是傳統數學下的產物。正如之前所說，要實施建構式數學，是要有條件的，而我們其實遠遠達不到這些條件。所以，沒辦法，我們還是用著以前的方法，以前的出題方式 (題目本身有變的比較生活，但出題目的方式與目標卻仍與過去相同)，以前的改考卷的方法硬著頭皮在執行。所以，我們依然習慣著要求標準答案 (很悲哀的，有標準答案，相對也比較公平；畢竟沒有標準答案的題目是很難打分數的)，所以當我們出一個題目「一隻筆5元，三筆共多少錢?」，而學生的答案寫著「5+5+5=3」時，這才是對的，如果寫成「3x5=15」就是錯的，因為，這才是標準答案。也因為如此，台灣的建構式數學，一點也不建構。這也無外乎會有許多家長及教育人士要求將數學改回來。

4.依我們分析的優缺點反思過往

(1).過往回憶

在剛進資策會的前幾年，很努力的學了不少知識技術，而且每次學到新的東西，就會想要立刻實際運用在實作上，當看到自己寫的程式在 Run 時，真的很有成就感。回想起來，那一段時間所學的東西，如 C++、Java、PHP、ASP、VB等程式語言，雖然有些是新的程式語言，但其實基本邏輯都很相似。相信一定有人認同，只要能對某個程式語言很專精，要學其他的程式語言其實都很快。另外，在學這些程式語言技術時，很容易可以在很多不同的地方找到許多範例，包括自己專案裏的資深同仁，就有很多範例可依循。話說回來，因為氣象專案過去多使用結構化分析法，比較沒有物件導向經驗，所以在學物件導向技術時，成效與成長就明顯比較慢。
不論如何，一開始的幾年，學習對我而言，是段很快樂的時光，也很有成就感。然而，最近的幾年，所學習的東西，已不在如之前那樣有效果。像是「品質流程」、像是「系統架構」、像是「風險評估」、像是「度量分析」、像是RUP、XP、UML有的沒的等等….這些東西相對起來都比較新，都是程式語言發展到某一種程度後，對於系統開發時會發生的問題所思考的解決策略，所以，這些東西，沒有什麼範例，也沒有什麼人知道怎麼做 (資工所還是台灣CMMI第一呢!!)。於是，我的思考邏輯出現了障礙，學習的樂趣漸漸消失。面對眼前一堆的積木，我唯一可以做的，似乎就是硬著頭皮去把這些積木堆起來 (我們組織現在好像就是這種感覺)。
如果，真的只是「硬著頭皮堆積木」，其實也未有不可，如果我們能夠「鼓勵能容忍異己、欣賞別人」，然後再花時間引導我們去歸結出屬於我們的答案，這樣其實是很好，而且很有創意也很有成就。可惜，很可惜，我們什麼都有 (有最多的東西叫「努力」)，就是沒有時間。所以，當我努力堆疊組合出成果時，面對的卻是來自各方反對的聲音：這裏不對、那裏不好、應該要這樣才對、我們要的不是這樣….長官的、客戶的、其他同事的….怎麼辦? 驗收壓力在即，只好硬塞。硬是擠成大家想要的標準答案，把多餘的角角砍掉，裏面有些空隙也不管了 (看不到就好)，也許還有些積木沒有能堆上去，管他的，放棄吧，當做沒看到 (以系統開發流程來看，這些被放棄的積木，通常會是「測試」，因為他在最後面)。為了績效、為了驗收，交差了事成了最後不得以的指標….~>_<~。
當然，有了一次的堆疊經驗，其實下次應該會堆的更快更好，所以，一次的失敗，沒什麼好難過的，對吧!!!! 不對，大錯特錯，因為資訊進步的速度很快、非常快、實在太快了。原以為我今年堆積木的經驗可以讓我明年堆的更順手一些 (空隙較少、要削掉的地方也較少、還可以放一兩塊「測試」的積木上去)；很可惜，到了隔年，積木變了；有一些的形狀改了，有一些被取消了，還有一些新增加的，更糟的是，最後要組出來的成品形狀也換了。我的天呀….~~~~~~>_<~~~~~~ !!

(2).CMMI

之前說過，其實我是贊同CMMI，就像贊同建構式數學一樣 (目前看來，我們的CMMI跑的跟建構式數學似乎很像，只是CMMI沒有家長會罵)。我，後天的思考邏輯缺陷，造成我在學習、實作CMMI流程時，有著更多的問題與無力感；發現，依我的現有的思考邏輯方式，到要能好好實作CMMI，應該必需比習慣「加法邏輯」的人多付出兩倍的時間才行。也就是說，如果歐美國家，從CMMI LV2到CMMI LV3 要3年，那麼，我們應該要6年才合理。我覺得我們必須多花一倍的時間，去調整我們原有的思考邏輯方式，才能真的達到我們想要的結果。想到這裏，原來很有興趣想看看「凌群」是怎麼通過CMMI LV3的，現在卻有種強烈的感覺，應該可能也只是會看到一個被砍削過的積木堆而已。
個人是這樣覺得的，我們的CMMI LV3是個硬塞出來的結果，這個積木堆裏有不少空隙，有些積木則被削過、砍過，當然，有些積木則被暗暗藏了起來，不讓別人看到 (尤其是稽核員)，我們呈現了一個標準答案，我們通過了CMMI。當LV3通過的時候，我記得我們的資工所PQA說了一句很有趣的話：「我沒想到我們的工程師這麼會說話」。這裏想反駁一下，其實，這就是我們的強項：找出標準答案，背的滾瓜爛熟，然後漂亮的通過考試；我們不是很會說話，我們只是很習慣背答案!!
講到這，突然對2006年通過CMMI LV5深具信心，真的。因為，到了考試前夕，我們應該有辦法找出標準答案、列出題庫，然後讓我們的工程師背的滾瓜爛熟，再一次讓稽核員訝異的發現，我們的工程師很會說話，然後再一次漂亮的通過CMMI LV5。帥吧、漂亮吧、台灣就是醬厲害。

(3).未來

沒有未來….這樣說也許太悲觀了。我的父親現在在大陸工作，因為他們的工廠應美商要求，整個搬到了大陸。也應美商要求，最近剛通過ISO 9002。很好玩，跟我們很像，也許真的是中國人的天性 -- 把文件做的漂亮漂亮，然後就通過了….不過，大陸有些學校也開始實施「建構式數學」了，只是，他們不像我們一下子全面實施，他們將資源集中投入，將所有的專家都丟到幾個學校去，而且不准家長抗議。當然，這樣不一定好，因為資源的集中，很容易就有不公平產生，會有很多地方相對沒有足夠資源從事教育。而且，這一批「建構式數學」白老鼠，在目前的考試制度下，也很難與其他傳統教學下的學生競爭。但，反正人家專制；雖然犧牲了一些人的利益，但也相對的造就了未來的希望。然後呢，台灣只好「順水推舟」、「水到渠成」的被邊緣化了….
其實，我們也是有未來，只要大陸方面因為經濟的起飛造成政治的民主改革 (只要變得民主，就會變得難以集中資源，就會出現像我們這樣的問題)，我們就還有希望。我們只要能好好利用我們的優勢(做文件、背答案)，領先佔據市場的有利位置，將落後的敵人排擠開外。接下來，我們可以等我們的「建構式數學」白老鼠長大成人，進入工作領域，然後真的開始創立屬於我們自己的創意，開創出屬於我們特有的未來….